TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll * D
        

X

 [ESTADO QUÂNTICO].

1] Cosmic space.
2] Cosmic and quantum time.
3] Structures.
4] Energy.
5] Phenomena.
6] Potential.
7] Phase transitions of physical [amorphous and crystalline] states and states of energies and phenomena of Graceli.
8] Types and levels of magnetism [in paramagnetic, diamagnetic, ferromagnetic] and electricity, radioactivity [fissions and fusions], and light [laser, maser, incandescence, fluorescence, phosphorescence, and others.
9] thermal specificity, other energies, and structure phenomena, and phase transitions.
10] action time specificity in physical and quantum processes.

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico  e quântico.

3]Estruturas.[isótopos, estrutura eletrônica, elementos químicos, amorfos e cristalinos, e, outros.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico,  e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

8]Tipos e níveis de magnetismo [em paramagnéticos, diamagnético, ferromagnéticos] e eletricidade, radioatividade [fissões e fusões], e luz [laser, maser, incandescências, fluorescências, fosforescências, e outros.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

categorias de Graceli.

tipos, níveis [intensidade], potenciais, tempo de ação.

Estados de Graceli de matéria, energias, momentuns, inércias, e entropias.

estado Graceli de elementos químico. molecular, estrutura molecular, estrutura eletrônica.

estado de campo químico de coesão, e resistência química e desintegração.

estado fenomênico e de energia, potenciais de transições e outros.

Estados térmico.
Estado quântico.
De dilatação.
De entropia.
De potencia de entropia e relação com dilatação.
De magnetismo [correntes, momentum e condutividades]..
De eletricidade [correntes, momentum e condutividades].
De condutividade.
De mometum e fluxos variados.
De potencial inercial da matéria e energia.
De transformação.
De comportamento de cargas e interações com elétrons.
De emaranhamentos e transemaranhamentos.
De paridades e transparidades.
De radiação.
Radioatividade.
De radioisótopos.
De relação entre radioatividade, radiação, eletromagnetismo e termoentropia.
De capacidade e potencialidade de resistir a pressão, a capacidade de resistir a pressão e transformar em entropia e momentum.

De resistir à temperaturas.
E transformar em dilatação, interações entre partículas, energias e campos.
Estado dos padrões de variações e efeitos variacionais.
Estado de incerteza dos fenômenos e entre as suas interações.


E outros estados de matéria, energia, momentum, tipos de inércia [como de inércia potencial de energias magnética, elétrica, forte e fraca, dinâmica, geométrica [côncava, convexa e plana] em sistema.


E que todos estes tipos de estados tendem a ter ações de uns sobre os outros, formando um aglomerado de fenômenos de efeitos na produção de novas causas. E de efeitos variacionais de uns sobre os outros, ou seja, um sistema integrado.

Grupo de renormalização

Origem: 

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Renormalização e regularização
Renormalização, Regularização
Renormalização[Expandir]
Regularização[Expandir]
v d e

Numa teoria quântica de campos, a regularização de divergências e a renormalização são geralmente vistas apenas como técnicas para tornar funções de correlações finitas. Contudo, elas possuem um significado físico muito profundo e mais importante: a descrição de teorias quânticas de campos mudam conforme a escala de energia. Essa ideia foi introduzida por Kenneth Wilson^[1] e é quantificada pelas equações do grupo de renormalização.

Grupo de renormalização no espaço de momentos

Suponha uma teoria quântica de campos com campos ${\displaystyle \phi (x)}$ e constantes de acoplamento ${\displaystyle g}$ descrita pela ação clássica ${\displaystyle S(\phi ,g)}$. Vamos considerar a expansão em modos de Fourier de ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \phi (x)=\int dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)}$

X

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Usualmente, a integral é sobre todas as frequências ${\displaystyle 0\leq |k|\leq \infty }$. Neste caso, várias funções de correlação podem não ser bem definidas. Uma forma de regularizar a teoria é introduzir uma frequência de corte ultravioleta ${\displaystyle \Lambda _{UV}}$. Isto é, limitamos a integral ao disco

${\displaystyle |k|\leq \Lambda _{UV}}$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

Chamaremos esse campos de ${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ e diremos que ele é o campo na escala ${\displaystyle \Lambda _{UV}}$. Então

${\displaystyle \phi _{0}(x)=\int _{0\leq |k|\leq \Lambda _{UV}}dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)}$

X

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Também chamaremos a constante de acoplamento de ${\displaystyle g_{0}}$. A função partição sobre os campos ${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ é

${\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\phi _{0}\;e^{-S(\phi _{0},g_{0})}}$

X

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Já que alguns dos modos de Fourier estão faltando, o campo ${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ é praticamente constante em distâncias menores que ${\displaystyle \Delta x\simeq 1/\Lambda _{UV}}$. Então, introduzir uma frequência de corte ultravioleta é o mesmo que introduzir um corte em pequenas distâncias. É óbvio que a introdução desse limite quebra a simetria de Poincaré. Eventualmente, vamos tomar o limite do contínuo ${\displaystyle 1/\Lambda _{UV}\rightarrow 0}$, onde a simetria de Poincaré é recuperada. A questão de renormalizabilidade é se podemos fazer isso mantendo as quantidades físicas numa escala de energia finita ${\displaystyle \mu }$ regulares.^[2]

Vamos decompor a região de integração da expansão em modos em duas partes:

${\displaystyle 0\leq |k|\leq \mu }$ e ${\displaystyle \mu \leq |k|\leq \Lambda _{UV}}$

X

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Chamaremos as expansões em modos correspondentes por

${\displaystyle \phi _{B}(x)=\int _{0\leq |k|\leq \mu }dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)}$

X

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${\displaystyle \phi _{A}(x)=\int _{\mu \leq |k|\leq \Lambda _{UV}}dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)}$

X

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onde B e A referem-se a Baixas e Altas energias. Nós gostaríamos de estudar o comportamento da teoria em energias menores que ${\displaystyle \mu }$, por exemplo, amplitudes de espalhamento de partículas com momentos ${\displaystyle \leq \mu }$. O que procuramos então é uma ação que descreva esses efeitos somente em termos de ${\displaystyle \phi _{B}(x)}$. Ela pode ser obtida integrando sobre ${\displaystyle \phi _{A}(x)}$ na integral de trajetória, mantendo ${\displaystyle \phi _{B}(x)}$ variável

${\displaystyle e^{-S_{eff}(\phi _{A},g_{0})}=\int {\mathcal {D}}\phi _{A}\;e^{-S(\phi _{B}+\phi _{A},g_{0})}}$

X

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Isso é chamado teoria de campos efetiva na energia ${\displaystyle \mu }$. Por vezes, quando tomamos o limite para o contínuo ${\displaystyle \Lambda _{UV}/\mu \rightarrow \infty }$, a expressão para a ação fica divergente e isso é a indicação que precisamos mudar a descrição da teoria em baixas energias. Nos casos mais drásticos, precisamos encontrar um novo conjunto completamente novo de campos e simetrias para descrever a teoria. Contudo, em muitos casos, a mudança de variáveis e parâmetros têm a forma:

${\displaystyle g_{0}=g_{0}(g,{\frac {\Lambda _{UV}}{\mu }})}$

X

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${\displaystyle \phi _{0}(x)=Z(g,{\frac {\Lambda _{UV}}{\mu }})\phi (x)+\phi _{A}(x)}$

X

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Aqui, ${\displaystyle \phi (x)}$ e ${\displaystyle g}$ são os novos campos, em termos dos quais a ação efetiva

${\displaystyle e^{-S_{eff}(\phi ,g,\mu )}=\int {\mathcal {D}}\phi _{A}\;e^{-S(\phi _{0},g_{0})}}$

X

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é regular no limite para o contínuo. Os campos ${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ e as contantes ${\displaystyle g_{0}}$ na escala de corte ${\displaystyle \Lambda _{UV}}$ são chamados de campos nus e constantes de acoplamentos nuas, enquanto ${\displaystyle \phi (x)}$ e ${\displaystyle g}$ são ditas renormalizados.

Equação de Callan-Symanzik

Se pode olhar para essa mudança de campos e constantes de duas formas. Uma forma de ver é fixar ${\displaystyle \mu }$ e variar ${\displaystyle \Lambda _{UV}}$. Nós fixamos os campos ${\displaystyle \phi (x)}$ e constantes de acoplamento ${\displaystyle g}$ numa escala ${\displaystyle \mu }$ (com os valores medidos nessa escala) e mudamos os campos nus ${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ e as contantes nuas ${\displaystyle g_{0}}$. Se pudermos mover ${\displaystyle \Lambda _{UV}}$ para o infinito sem mudar o comportamento do sistema na energia ${\displaystyle \mu }$ (descrito por ${\displaystyle \phi (x)}$ e ${\displaystyle g}$), então, nesse limite, obtemos uma teoria quântica de campos com simetria de Poincaré.

Uma outra forma de ver é mover ${\displaystyle \mu }$, fixando ${\displaystyle \Lambda _{UV}}$ e consequentemente ${\displaystyle \phi _{0}(x)}$ e ${\displaystyle g_{0}}$. Desta forma, o campo renormalizado e a constante de acoplamento renormalizada é que mudam com a escala. Essa constante é dita constante de acoplamento corredora. Em particular, se mudamos a escala de ${\displaystyle \mu _{1}}$ para ${\displaystyle \mu _{2}}$, as constantes de acoplamento mudarão de ${\displaystyle g_{1}=(g_{0},{\frac {\mu _{1}}{\Lambda _{UV}}})}$ 

X

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para ${\displaystyle g_{2}=g(g_{0},{\frac {\mu _{2}}{\Lambda _{UV}}})}$, onde ${\displaystyle g(g_{0},{\frac {\mu }{\Lambda _{UV}}})}$ 

X

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é a inversa da função definida anteriormente. Com efeito, definindo um campo com contribuições dos modos de Fourier entre ${\displaystyle \mu _{1}\leq |k|\leq \mu _{2}}$, podemos repetir o raciocínio e escrever ${\displaystyle g_{2}=g(g_{1},{\frac {\mu _{2}}{\mu _{1}}})}$. Desta forma, uma mudança de escala induz uma mudança das contantes de acoplamento através do campo vetorial

${\displaystyle \beta (g)=\mu {\frac {d}{d\mu }}g(g_{1},{\frac {\mu }{\mu _{1}}})|_{g_{1}=g,\mu _{1}=\mu }}$

X

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Essa equação é chamada de equação de Callan-Symanzik^[3] e o campo vetorial ${\displaystyle \beta (g)}$ é chamado função beta da constante de acoplamento ${\displaystyle g}$.

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X 

TODA FORMA DE FUNÇÃO E EQUAÇÃO EM:

Em um sistema quântico constituído de muitas partículas idênticas com spin inteiro, a estatística de Bose-Einstein, ou estatística BE, é utilizada para descrever o sistema e calcular os valores médios das grandezas físicas.

Em um sistema de ${\displaystyle N}$ bósons idênticos de massa ${\displaystyle m}$, que possuem interação mútua desprezível, contidos em um recipiente de volume ${\displaystyle V}$, a uma temperatura ${\displaystyle T}$, em equilíbrio, o número médio de partículas ${\displaystyle {\bar {n}}_{s}}$ num estado de energia ${\displaystyle s}$ é dado por

${\displaystyle {\bar {n}}_{s}={\frac {g_{s}}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}-1}}}$ ,

em que ${\displaystyle g_{s}}$ é a degenerescência quântica do estado ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle \epsilon _{s}}$ é a energia do estado ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle \mu }$ é o potencial químico, e ${\displaystyle \beta =1/k_{B}T}$, em que ${\displaystyle k_{B}}$ é a constante de Boltzmann^[1].

Formulação matemática

Seja um gás de ${\displaystyle N}$ partículas idênticas confinadas em um volume ${\displaystyle V}$. Sendo ${\displaystyle Q_{i}}$ o conjunto das coordenadas generalizadas da i-ésima partícula e ${\displaystyle s_{i}}$ o índice rotulador dos possíveis estados quânticos desta única partícula, o estado do gás inteiro é então descrito pelo conjunto de números quânticos

${\displaystyle \{s_{1},s_{2},\dots ,s_{N}\}}$

os quais definem a função de onda ${\displaystyle \Psi }$ do gás nesse estado.

${\displaystyle \Psi =\Psi _{\{s_{1},s_{2},\dots ,s_{N}\}}(Q_{1},Q_{2},\dots ,Q_{N})}$

A estatística BE trata de partículas em que o spin total é medido em unidade inteiras de ${\displaystyle \hbar }$ — os chamados bósons — como, por exemplo, o átomo de Hélio-4 e o fóton.^[1] Partículas quânticas são indistinguíveis, ou seja, a troca de duas partículas não altera o estado do sistema. Além disto, a função de onda total para um sistema de bósons é simétrica sobre a troca de duas partículas^[1]

${\displaystyle \Psi (\dots ,Q_{i},\dots ,Q_{j})=\Psi (\dots ,Q_{j},\dots ,Q_{i})}$

Como consequência, os bósons não obedecem ao princípio de exclusão de Pauli, não havendo limitação no número de partículas que podem ocupar um dado estado quântico^[1]. Tomando este gás a uma temperatura ${\displaystyle T}$ e que cada partícula está em um estado ${\displaystyle r}$ de energia ${\displaystyle \epsilon _{r}}$ onde há ${\displaystyle n_{r}}$ partículas neste estado, o gás inteiro possui ${\displaystyle R}$ estados possíveis. Desprezando as interações mútuas entre as partículas, a energia do gás no estado ${\displaystyle R}$ será dada por

${\displaystyle E_{R}=n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+\dots =\sum _{r}n_{r}\epsilon _{r}}$

em que a soma se estende sobre todos os estados ${\displaystyle r}$ possíveis de uma partícula^[2]. Como o número de partículas é fixo, também temos que

${\displaystyle \sum _{r}n_{r}=N}$

A função partição ${\displaystyle Z}$ do gás será dada por

${\displaystyle Z=\sum _{R}e^{-\beta E_{R}}=\sum _{R}e^{-\beta n_{1}\epsilon _{1}+\dots }}$

Essa soma é sobre todos os estados ${\displaystyle R}$ possíveis do gas inteiro, isto é, sobre todos os possíveis números ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3},\dots }$^[2]. Como exp${\displaystyle [-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+n_{2}\epsilon _{2}+...)]}$ é a probabilidade relativa de encontrar o gás em um estado partículas onde há ${\displaystyle n_{1}}$ partículas em 1, ${\displaystyle n_{2}}$ em partículas em 2 e assim sucessivamente, pode-se escrever o número médio de partículas em um estado ${\displaystyle s}$ como

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}={\dfrac {\sum _{R}n_{s}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+\dots )}}{\sum _{R}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+\dots )}}}.}$

Somando todos os possíveis valores de ${\displaystyle n_{s}}$, usando a propriedade multiplicativa da exponencial e rearranjando, pode-se escrever ${\displaystyle {\bar {n_{s}}}}$ como

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}={\dfrac {\displaystyle \sum _{n_{s}}n_{s}e^{-\beta n_{s}\epsilon _{s}}\cdot \sum _{n_{1},n_{2},\dots }^{(s)}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+\dots )}}{\displaystyle \sum _{n_{s}}e^{-\beta n_{s}\epsilon _{s}}\cdot \sum _{n_{1},n_{2},\dots }^{(s)}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+\dots )}}}}$

em que o sobrescrito ${\displaystyle (s)}$ no somatório indica a soma com exceção do estado ${\displaystyle s}$ em particular. Adotando a notação:

${\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }^{(s)}e^{-\beta (n_{1}\epsilon _{1}+\dots )}=Z_{s}(N)}$

A restrição de ${\displaystyle N}$ fixo implica que se uma partícula está no estado ${\displaystyle s}$, a soma ${\displaystyle \sum ^{(s)}}$ se estende pelas ${\displaystyle N-1,N-2,\dots }$ partículas restantes que podem ser colocadas nos estados ${\displaystyle n_{r}=1,2,3,\dots }$. Ao executar explicitamente a soma sobre ${\displaystyle {\bar {n_{s}}}}$ ter-se-á^[3]

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}={\dfrac {0+e^{-\beta \epsilon _{s}}Z_{s}(N-1)+2e^{-2\beta \epsilon _{s}}Z_{s}(N-2)+\dots }{Z_{s}(N)+e^{-\beta \epsilon _{s}}Z_{s}(N-1)+2e^{-2\beta \epsilon _{s}}Z_{s}(N-2)+\dots }}}$

Estabelecendo a seguinte relação entre ${\displaystyle Z_{s}(N-\Delta N)}$ e ${\displaystyle Z_{s}(N)}$ onde ${\displaystyle N>>\Delta N}$

${\displaystyle \ln {Z_{s}(N-\Delta N)}=\ln {Z_{s}(N)}-{\dfrac {\partial \ln {Z_{s}}}{\partial N}}\cdot \Delta N=\ln {Z_{s}}-\alpha _{s}\Delta N}$

em que

${\displaystyle \alpha _{s}={\dfrac {\partial \ln {Z_{s}}}{\partial N}}}$

e portanto,

${\displaystyle Z_{s}(N-\Delta N)=Z_{s}(N)e^{-\alpha _{s}\Delta N}}$

Mas como ${\displaystyle Z_{s}(N)}$ é uma soma sobre muitos estados, espera-se que a variação de seu logaritmo natural com o número total de partícula seja imperceptível para o qual um estado particular ${\displaystyle s}$ seja omitido da soma^[3]. Vamos introduzir a aproximação de que ${\displaystyle \alpha _{s}}$ é independente de ${\displaystyle s}$, então podemos só escrever ${\displaystyle \alpha _{s}=\alpha }$ para todo ${\displaystyle s}$^[3]. Logo,

${\displaystyle \alpha ={\frac {\partial \ln {Z}}{\partial N}}}$

Do ensemble canônico, sabe-se que essa derivada parcial resulta em ${\displaystyle -\beta \mu }$, em que ${\displaystyle \mu }$ é o potencial químico do gás^[3]. Portanto,

${\displaystyle \alpha =-\beta \mu }$

Substituindo estes resultados em ${\displaystyle {\bar {n_{s}}}}$ teremos

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}={\dfrac {e^{-\beta (\epsilon _{s}-\mu )}Z_{s}(N)+2e^{-2\beta (\epsilon _{s}-\mu )}Z_{s}(N)+\dots }{Z_{s}(N)+e^{-\beta (\epsilon _{s}-\mu )}Z_{s}(N)+2e^{-2\beta (\epsilon _{s}-\mu )}Z_{s}(N)+\dots }}}$

Cancelando ${\displaystyle Z_{s}(N)}$ ter-se-á

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}={\dfrac {e^{-\beta (\epsilon _{s}-\mu )}+2e^{-2\beta (\epsilon _{s}-\mu )}+\dots }{1+e^{-\beta (\epsilon _{s}-\mu )}+2e^{-2\beta (\epsilon _{s}-\mu )}+\dots }}}$

Que é uma série geométrica. Usando a função partição de acordo com^[3] isso resultará em

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}={\frac {1}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}-1}}}$

Se o estado ${\displaystyle s}$ é degenerado com degenerescência ${\displaystyle g_{s}}$ então o número médio de partículas com energia ${\displaystyle \epsilon _{s}}$ é obtido multiplicando a expressão anterior por ${\displaystyle g_{s}}$. Finalmente,

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}={\frac {g_{s}}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}-1}}}$

A estatística de Bose-Einstein reduz-se à estatística de Maxwell-Boltzmann para energias: ${\displaystyle (\epsilon _{s}-\mu )>>kT}$^[4][5].

Gás de fótons

Um caso especial da estatística de Bose-Einstein é o gás de fótons. Fótons possuem spin inteiro igual a 1, então desta forma são considerados bósons. O caso é especial devido ao fato de que se considerarmos vários fótons dentro de um recipiente com volume V, o número destes fótons não será constante, pois conforme estes fótons interagem com as paredes do recipiente estes são absorvidos ou emitidos. Desta forma, não podemos impor um vínculo ao número total de fótons no sistema. Neste caso, precisaremos realizar as somas sobre todos os possíveis números de partículas em cada estado, da forma^[6]:

${\displaystyle n_{r}=0,1,2,3,...}$ para todo r.

A função partição para o gás de fótons é dada por:

${\displaystyle Z=\sum _{R}e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+...)}}$

No qual R são todos os estados possíveis do gás. Como não há vínculos agora para o número de partículas por estado, podemos utilizar as propriedades das funções exponenciais e reescrever a soma acima como:

${\displaystyle Z=\sum _{n_{1},n_{2},...}e^{-\beta n_{1}\varepsilon _{1}}e^{-\beta n_{2}\varepsilon _{2}}...}$

Ou ainda:

${\displaystyle Z=\left(\sum _{n_{1}=0}^{\infty }e^{-\beta n_{1}\varepsilon _{1}}\right)\left(\sum _{n_{2}=0}^{^{\infty }}e^{-\beta n_{2}\varepsilon _{2}}\right)...}$

Como não há restrição para o número de fótons, as somas acima são consideradas até um número muito grande de partículas por estado de energia, no qual matematicamente isto se traduz a realizarmos a soma até o infinito, embora fisicamente, estejamos carregando a soma até um número muito grande de partículas. Como estamos tratando de uma exponencial com argumento negativo, após um certo valor os termos serão desprezíveis, não tendo problemas com divergências. Se olharmos com cuidado para as somas dentro dos colchetes acima, percebe-se que podemos escrevê-las como abaixo:

${\displaystyle \sum _{n_{1}=0}^{\infty }e^{-\beta n_{1}\varepsilon _{1}}=1+e^{-\beta \varepsilon _{1}}+e^{-2\beta \varepsilon _{1}}+...=\left({\frac {1}{1-e^{-\beta \varepsilon _{1}}}}\right)}$

Ou seja, cada termo é uma soma geométrica. Assim, podemos reescrever a função partição da seguinte forma:

${\displaystyle Z=\left({\frac {1}{1-e^{-\beta \varepsilon _{1}}}}\right)\left({\frac {1}{1-e^{-\beta \varepsilon _{2}}}}\right)...}$

E o logaritmo natural da função partição, que é o qual estamos interessados é dado por:

${\displaystyle \ln {Z}=-\sum _{r}\ln {(1-e^{-\beta \varepsilon _{r}})}}$

Nosso próximo objetivo agora é encontrar o número médio de partículas em um estado de energia ${\displaystyle \varepsilon _{s}}$. Tal resultado pode ser obtido através da expressão abaixo^[6]:

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}=-{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial \ln {Z}}{\partial \varepsilon _{s}}}}$

Realizando a derivação do logaritmo natural da função partição, temos o resultado abaixo:

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}={\frac {e^{-\beta \varepsilon _{s}}}{1-e^{-\beta \varepsilon _{s}}}}}$

O resultado acima é este pois a única derivada que não é zero é o termo da soma no qual ${\displaystyle r=s}$. Podemos simplificar o resultado acima, multiplicando e dividindo a expressão acima pela exponencial com o mesmo argumento, porém positivo, e assim obtemos o importante resultado dado por:

${\displaystyle {\bar {n_{s}}}={\frac {1}{e^{\beta \varepsilon _{s}-1}}}}$

Este resultado é conhecido como a distribuição de Planck, e fornece o número médio de fótons em um determinado estado s. Uma das aplicações mais famosas do resultado acima é no problema da radiação de corpo negro.

Radiação de corpo negro

Ver artigo principal: Radiação de corpo negro

Radiância espectral em função da frequência

Todo corpo a uma temperatura ${\displaystyle T}$ emite radiação eletromagnética. A distribuição de Planck fornece o espectro de emissão para uma classe especifica de corpos, os chamados corpos negros, definidos como os corpos que absorvem toda a radiação incidente. Pode-se modelar um corpo negro como uma cavidade metálica com volume ${\displaystyle V}$, tal que haja apenas um pequeno orifício em uma de suas paredes. Logo, esta cavidade absorve toda a radiação que entra por ali, e radiação emitida pelo orifício que é oriunda das emissões a partir das superfícies internas da cavidade se comporta como se fosse um corpo negro.^[7]

Busca-se a chamada radiância espectral ${\displaystyle R_{T}(f)df}$, que fornece a potência irradiada por unidade de área com frequência entre ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle f+df}$ pelo corpo estudado a uma data temperatura. Através de uma análise física do problema, pode-se mostrar que a radiância espectral está diretamente ligada com a densidade de energia dentro da cavidade. A relação entre as duas grandezas é dada por:

${\displaystyle R_{T}(f)={\frac {c}{4}}u_{T}(f)}$

Pode-se então obter a densidade de energia, e assim resolve-se o problema da mesma maneira. A densidade de energia pode ser obtida a partir da probabilidade de um nível com energia ${\displaystyle \varepsilon _{s}}$ estar ocupado por ${\displaystyle n_{s}}$ fótons, sendo assim se multiplicarmos este valor pelo número de médio fótons por unidade de volume naquele estado, teremos a densidade de energia dentro desta cavidade na forma:^[8]

${\displaystyle u_{T}(\varepsilon )={g(\varepsilon ){\bar {\varepsilon _{s}}}}}$

Onde ${\displaystyle g(\varepsilon )}$ é a densidade de estados ou degenerescência. Como temos o número médio de fótons em um estado ${\displaystyle s}$, basta multiplicar este número pela energia do estado ${\displaystyle s}$, assim:

${\displaystyle {\bar {\varepsilon _{s}}}={\frac {\varepsilon _{s}}{e^{\beta \varepsilon _{s}}-1}}}$

Como os estados do sistema estão muito próximos um dos outros, por conta da cavidade ocupar um volume V macroscópico, podemos tratar as variáveis como sendo contínuas. O número de estados por unidade de volume dentro da cavidade com frequência entre ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle f+df}$ é dada por:^[9]

${\displaystyle g(f)df={\frac {8\pi }{c^{3}}}f^{2}df}$

Sabemos que a energia e a frequência de um fóton estão ligado pela expressão de Planck ${\displaystyle E=hf}$, desta forma se fizermos a substituição sugerida, obtemos assim a expressão para a densidade de energia dentro de uma cavidade.

${\displaystyle u_{T}(f)={\frac {8\pi h}{c^{3}}}{\frac {f^{3}}{e^{\frac {hf}{kT}}-1}}}$

E a radiância espectral é dada diretamente por:

${\displaystyle R_{T}(f)={\frac {2\pi h}{c^{2}}}{\frac {f^{3}}{e^{\frac {hf}{kT}}-1}}}$

Todo o caminho feito para o obtenção do resultado foi a partir da análise das propriedades quânticas e estatísticas de fótons dentro de um volume V, e em equilíbrio térmico a uma temperatura T. Pode-se chegar no mesmo resultado analisando a interação da radiação eletromagnética dentro do volume V com as paredes do recipiente^[10].

Comparação entre as estatísticas

Comparação das distribuições de Maxwell-Boltzmann (MB), Bose-Einstein (BE) e Fermi-Dirac (FD).

Influência do potencial químico na distribuição BE.

Influência da temperatura na distribuição de BE.

Nota-se que um sistema de bósons possui uma maior ocupação dos estados, devido aos efeitos quânticos de simetria da função de onda do sistema ^[11]. Nesta distribuição identifica-se que para o regime ${\displaystyle (\epsilon -\mu )/kT>>1}$ as distribuições quânticas de Bose-Einstein (BE) e Fermi-Dirac (FD) se aproximam da distribuição clássica de Maxwell-Boltzmann (MB), que representa o regime de baixas densidades e altas temperaturas, ou seja, o limite clássico ^[12].

Em diferentes valores do potencial químico, nota-se que os estados de menor energia (próximos ao estado fundamental) são os mais populados. Para baixas temperaturas as partículas se concentram nos estados de menor energia. No limite de temperatura tendendo a zero, todas as partículas vão para o estado fundamental (${\displaystyle s=1}$), logo, ${\displaystyle {\bar {n}}_{1}\approx N}$ enquanto ${\displaystyle {\bar {n}}_{s}\approx 0}$ para os demais estados ^[13]. Já para altas temperaturas, devido à energia térmica do sistema, as partículas tem maior probabilidade de atingir estados mais energéticos.

Condensação de Bose-Einstein

O condensado de Bose-Einstein é uma fase da matéria formada por bósons a uma temperatura muito próxima do zero absoluto. Nestas condições, uma grande fração de átomos atinge o mais baixo estado quântico, e nestas condições os efeitos quânticos podem ser observados em escala macroscópica. Sistemas em baixa temperatura ou com densidade relativamente alta de partículas são mais prováveis de apresentarem comportamentos quânticos, mesmo em sistemas onde a interação intramolecular é desprezível^[14].

Temperatura crítica para um gás ideal de bósons

Um gás ideal de bósons não está sujeito ao princípio de exclusão de Pauli. Logo, os bósons podem se condensar no seu estado de menor energia. A densidade de estados ${\displaystyle g(\epsilon )}$ é dada por,

${\displaystyle g(\epsilon )={\frac {V}{4\pi ^{2}}}{\frac {(2m)^{\frac {3}{2}}}{\hbar ^{3}}}\epsilon ^{1/2}}$

Logo, o número de partículas ${\displaystyle N}$ pode ser reescrito como

${\displaystyle N=\int _{0}^{\infty }{\frac {g(\epsilon )}{e^{\beta (\epsilon -\mu )}-1}}d\epsilon }$

A distribuição continua pode ser utilizada pois os níveis do sistema quântico discreto são numerosos e estão muito próximos. Portanto,

${\displaystyle N={\frac {V}{4\pi ^{2}}}{\frac {(2m)^{\frac {3}{2}}}{\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\epsilon ^{1/2}}{e^{\beta (\epsilon -\mu )}-1}}d\epsilon }$

Porém, como a integração dar-se-á de ${\displaystyle \epsilon =0}$, a informação do estado fundamental é perdida. Todavia, quando a temperatura do sistema diminui, o potencial químico aumenta, e o número de partículas no estado fundamental é dada por ^[15]

${\displaystyle N_{0}={\frac {1}{e^{-\beta \mu }-1}}}$

Seja o número de partículas em estados excitados dado por ${\displaystyle N_{e}}$, temos

${\displaystyle N=N_{0}+N_{e}}$

${\displaystyle N={\frac {1}{e^{-\beta \mu }-1}}+{\frac {V}{4\pi ^{2}}}{\frac {(2m)^{\frac {3}{2}}}{\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\epsilon ^{1/2}}{e^{\beta (\epsilon -\mu )}-1}}d\epsilon }$

Porém, para temperaturas muito próximas de zero ${\displaystyle N\approx N_{0}}$, ou seja,

${\displaystyle N\approx {\frac {1}{e^{-{\frac {\mu }{kT}}}-1}}}$

Variação da temperatura de No/N (preto) e de Ne/N (vermelho) para uma gás ideal de bósons.

E, considerando ${\displaystyle N}$ grande,

${\displaystyle -{\frac {\mu }{kT}}\approx \ln \left(1+{\frac {1}{N}}\right)\approx {\frac {1}{N}}}$

Logo, ${\displaystyle e^{-\mu /kT}\approx 1}$. E ${\displaystyle N_{e}}$ se torna,

${\displaystyle N_{e}={\frac {V}{4\pi ^{2}}}{\frac {(2m)^{\frac {3}{2}}}{\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\epsilon ^{1/2}}{e^{\beta \epsilon }-1}}d\epsilon }$

Introduzindo a mudança de variável ${\displaystyle x=\beta \epsilon }$, temos

${\displaystyle N_{e}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right)^{3/2}V\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{1/2}}{e^{x}-1}}d\epsilon }$

A integral pode ser escrita em termos da função gama ${\displaystyle \Gamma (x)}$ e da função zeta de Riemann ${\displaystyle \zeta (x)}$. De fato, ela é igual a ${\displaystyle \Gamma (3/2)\zeta (3/2)}$, onde ${\displaystyle \Gamma (3/2)={\sqrt {\pi }}/2}$, logo,

${\displaystyle N_{e}=\zeta (3/2)V\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right)^{3/2}}$

A temperatura crítica, ou de Bose-Einstein, ${\displaystyle T_{c}}$, é a temperatura em que acima dela todos os bósons estão em um estado excitado, e pode ser encontrada tomando ${\displaystyle N=N_{e}}$, onde ${\displaystyle T=T_{c}}$, assim, da última equação,

${\displaystyle T_{c}={\frac {h^{2}}{2\pi mk}}\left[{\frac {N}{\zeta (3/2)V}}\right]^{2/3}}$

Se ${\displaystyle 0<T<T_{c}}$, a razão de bósons no estado excitado em relação ao total, é

${\displaystyle {\frac {N_{e}}{N}}=\left({\frac {T}{T_{c}}}\right)^{3/2}}$

Consequentemente, a razão para os bósons no estado fundamental é,

${\displaystyle {\frac {N_{0}}{N}}=1-\left({\frac {T}{T_{c}}}\right)^{3/2}}$